Укр
Eng
Журнал
Автору

АПРОКСИМАТИВНІ ВЛАСТИВОСТІ ОПЕРАТОРІВ ТИПУ АБЕЛЯ-ПУАССОНА НА УЗАГАЛЬНЕНИХ КЛАСАХ ГЕЛЬДЕРА

УДК 519.6

Volume 66, Issue 1, 2021, pages 76-83

DOI: https://doi.org/10.34229/0572-2691-2021-1-6

Завантажити статтю

Харкевич Юрій Іліодорович, кандидат фізико-математичних наук, професор Волинського національного університету імені Лесі Українки, Луцьк

Ханін Олександр Григорович, кандидат фізико-математичних наук, доцент Волинського національного університету імені Лесі Українки, Луцьк

Abstract

Роботу присвячено актуальним проблемам сучасної прикладної математики, а саме вивченню апроксимативних властивостей операторів типу Абеля-Пуас­сона на так званих узагальнених класах функцій Гельдера. Відомо, що під узагальненими класами функцій Гельдера прийнято називати класи неперервних -періодичних функцій, що визначаються за допомогою модуля неперервності першого порядку. Саме поняття модуля неперервності першого порядку сформульовано в роботах відомого французького математика Лебега на початку минулого століття і з тих пір є найважливішою характеристикою гладкості неперервних функцій, якими можна описувати всі природні процеси в математичному моделюванні. У той же час самі по собі оператори типу Абеля-Пуас­сона є розв’язками диференціальних рівнянь в частинних похідних еліптичного типу. Саме тому отримані в даній роботі результати мають важливе значення для подальших досліджень у галузі прикладної математики. Доведена теорема характеризує верхню межу відхилення неперервних -періодичних функцій, визначених за допомогою модуля неперервності першого порядку, від їх операторів типу Абеля-Пуассона. Таким чином розв’язано класичну задачу Колмогорова-Нікольського в термінології О.І. Степанця про наближення функцій класу  їх операторами типу Абеля-Пуассона. Відомо, що оператори типу Абеля-Пуассона в окремих випадках перетворюються в добре відомі в прикладній математиці оператори Пуассона і Якобі-Вейєрштрасса. Тому з доведеної в роботі теореми як наслідок записано асимптотичні рівності верхніх граней відхилень функцій класу Гельдера порядку    від їх операторів Пуассона і Якобі-Вейєрштрасса відповідно. Отримані рівності узагальнюють раніше відомі в цьому напрямку результати з області прикладної математики.

REFERENCES

  1. Chikrii A.A., Chikrii V.K. Image structure of multivalued mappings in game problems of motion control. Journal of Automation and Information Sciences. 2016. 48, N 3. P. 20-35. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v48.i3.30.
  2. Vlasenko L.A., Rutkas A.G., Chikrii A.A. On a differential game in an abstract parabolic system. Proc. Steklov Inst. Math. 2016. 293 (Suppl 1). P. 254–269. DOI: 10.1134/s0081543816050229.
  3. Chikrii A.A., Chikrii G.T. Matrix resolving functions in game problems of dynamics. Proc. Steklov Inst. Math. 2015. 291 (Suppl 1). Р. 56-65. DOI: 10.1134/S0081543815090047.
  4. Chikrii A.О., Chikrii G.T. Matrix resolving functions in dynamic games of approach. Cybernet. and Systems Anal. 2014. 50, N 2. Р. 201-217. DOI: 10.1007/s10559-014-9607-7.
  5. Chikrii A.A., Eidelman S.D. Control game problems for quasilinear systems with Riemann-Liouville fractional derivatives. Cybernet. and Systems Anal. 2001. 37, N 6. P. 836–864. DOI: 10.1023/A:1014529914874.
  6. Chikrii A.A., Matichin I.I. Game problems for fractional-order linear systems. Proc. Steklov Inst. Math. 2010. 268 (Suppl 1). P. 54–70. DOI: 10.1134/s0081543810050056.
  7. Chikrii A.A., Matichin I.I. Riemann-Liouville, Caputo, and sequential fractional derivatives in differential games. In: Breton M., Szajowski K. (eds). Advances in Dynamic Games. Annals of the International Society of Dynamic Games. Boston : Birkhäuser. 2011. 11. P. 61–81. DOI: 10.1007/978-0-8176-8089-3_4.
  8. Kharkevych Yu.I., Zhyhallo T.V. Approximation of -differentiable functions defined on the real axis by Abel-Poisson operators. Ukrainian Math. J. 2005. 57, N 8. P. 1297–1315. DOI: 10.1007/s11253-005-0262-z.
  9. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of conjugate differentiable functions by their Abel-Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2009. 61, N 1. P. 86–98. DOI: 10.1007/s11253-009-0196-y.
  10. Kharkevych Yu.I., Pozharska K.V. Asymptotics of approximation of conjugate functions by Poisson integrals. Acta Comment. Univ. Tartu. Math. 2018. 22, N 2. P. 235–243. DOI: 10.12697/
    ACUTM.2018.22.19.
  11. Kal’chuk I.V., Kharkevych Yu.I. Complete asymptotics of the approximation of function from the Sobolev classes by the Poisson integrals. Acta Comment. Univ. Tartu. Math. 2018. 22, N 1.
    P. 23–36. DOI: 10.12697/ACUTM.2018.22.03.
  12. Zhyhallo T.V., Kharkevych Yu.I. Approximation of -differentiable functions by Poisson integrals in the uniform metric. Ukrainian Math. J. 2009. 61, N 11. P. 1757–1779. DOI: 10.1007/s11253-010-0311-0.
  13. Zhyhallo T.V., Kharkevych Yu.I. Approximation of functions from the class  by Poisson integrals in the uniform metric. Ukrainian Math. J. 2009. 61, N 12. P. 1893–1914. DOI: 10.1007/
    s11253-010-0321-y.
  14. Kharkevych Yu.I., Stepanyuk T.A. Approximation properties of Poisson integrals for the classes  Mathematical Notes. 2014. 96, N 5-6. P. 1008–1019. DOI: 10.1134/S0001434614110406.
  15. Kal’chuk I.V. Approximation of -differentiable functions defined on the real axis by Weierstrass operators. Ukrainian Math. J. 2007. 59, N 9. P. 1342-1363. DOI: 10.1007/s11253-007-0091-3.
  16. Kharkevych Yu.I., Kal’chuk I.V. Approximation of -differentiable functions by Weierstrass integrals. Ukrainian Math. J. 2007. 59, N 7. P. 1059–1087. DOI: 10.1007/s11253-007-0069-1.
  17. Baskakov V.A. Some properties of operators of Abel–Poisson type. Math. Notes. 1975. 17, N 2. P. 101–107. DOI: 10.1007/BF01161864.
  18. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Complete asymptotics of the deviation of a class of differentiable functions from the set of their harmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2002. 54, N 1.
    Р. 51–63. DOI: 10.1023/A:1019789402502.
  19. Kal’chuk I.V., Kharkevych Yu.I., Pozharska K.V. Asymptotics of approximation of functions by conjugate Poisson integrals. Carpathian Math. Publ. 2020. 12, N 1. P. 138–147. DOI: 10.15330/
    cmp.12.1.138-147.
  20. Степанец А.И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Киев : Наук. думка, 1981. 340 с.
  21. Kharkevych Yu.I., Zhyhallo T.V. Approximation of functions defined on the real axis by operators generated by λ-methods of summation of their Fourier integrals. Ukrainian Math. J. 2004. 56, N 9. P. 1509–1525. DOI: 10.1007/s11253-005-0130-x.
  22. Kharkevych Yu.I. On approximation of the quasi-smooth functions by their Poisson type integrals. Journal of Automation and Information Sciences. 2017. 49, N 10. P. 74–81. DOI: 10.1615/
    JAutomatInfScien.v49.i10.80.
  23. Kharkevych Yu.I. Asymptotic expansions of upper bounds of deviations of functions of class  from their generalized Poisson integrals. Journal of Automation and Information Sciences. 2018. 50, N 8. P. 38-49. DOI: 10.1615/jautomatinfscien.v50.i8.40.
  24. Zhyhallo T.V., Kharkevych Yu.I. Approximating properties of biharmonic Poisson operators in the classes  Ukrainian Math. J. 2017. 69, N 5. P. 757–765. DOI: 10.1007/s11253-017-1393-8.
  25. Kharkevych Yu.I., Zhyhallo T.V. Approximation of functions from the class  by Poisson biharmonic operators in the uniform metric. Ukrainian Math. J. 2008. 60, N 5. P. 769–798. DOI: 10.1007/s11253-008-0093-9.
  26. Abdullayev F.G., Kharkevych Yu.I. Approximation of the classes  by biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2020. 72, N 1. P. 21–38. DOI: 10.1007/s11253-020-01761-6.
  27. Kal’chuk I.V., Kharkevych Yu.I. Approximating properties of biharmonic Poisson integrals in the classes . Ukrainian Math. J. 2017. 68, N 11. P. 1727–1740. DOI: 10.1007/s11253-017-1323-9.
  28. Kharkevych Yu.I., Kal’chuk I.V. Asymptotics of the values of approximations in the mean for classes of differentiable functions by using biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2007. 59, N 8. P. 1224–1237. DOI: 10.1007/s11253-007-0082-4.
  29. Kal’chuk I.V., Kravets V.I., Hrabova U.Z. Approximation of the classes  by three-harmonic Poisson integrals. J. Math. Sci. (N.Y.). 2020. 246, N 2. P. 39–50. DOI: 10.1007/s10958-020-04721-4.
  30. Hrabova U.Z., Kal’chuk I.V. Approximation of the classes  by three-harmonic Poisson integrals. Carpathian Math. Publ. 2019. 11, N 2. P. 321-334. DOI: 10.15330/cmp.11.2.321-334.
  31. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. On the approximation of functions of the Hölder class by triharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2001. 53, N 6. P. 1012–1018. DOI: 10.1023/
    A:1013364321249.
  32. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. On the approximation of functions of the Hölder class by biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2000. 52, N 7. P. 1113–1117. DOI: 10.1023/
    A:1005285818550.
  33. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of differentiable periodic functions by their biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2002. 54, N 9. P. 1462–1470. DOI: 10.1023/
    A:1023463801914.
  34. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of conjugate differentiable functions by biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2009. 61, N 3. P. 399–413. DOI: 10.1007/s11253-009-0217-x.
  35. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of functions from the classes  by biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2011. 63, N 7. P. 1083–1107. DOI: 10.1007/
    s11253-011-0565-1.
  36. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of -differentiable functions of low smoothness by biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2012. 63, N 12. P. 1820–1844. DOI: 10.1007/s11253-012-0616-2.