ВЛАСТИВОСТІ ВЕЛИКИХ ВІДХИЛЕНЬ ЕМПІРИЧНИХ ОЦІНОК У ЗАДАЧІ СТОХАСТИЧНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ ДЛЯ ОДНОРІДНОГО ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ

Кнопов Павло Соломонович, член-кореспондент НАН України, професор, завідувач відділом Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, м Київ
Касицька Євгенія Йосипівна, кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, м Київ

pages 126–146

DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v52.i12.20

Розглядається задача стохастичного програмування, де випадковим чинником є однорідне у вузькому розумінні випадкове поле, що задовольняє умові сильного перемішування з відповідним коефіцієнтом. Вихідна проблема апроксимується задачею мінімізації емпіричної функції, побудованої за спостереженнями однорідного випадкового поля. Наведено умови, за яких емпірична оцінка є консистентною, зокрема, накладаються обмеження на моменти мінімізуємої функції. При дослідженні великих відхилень використовуються теореми з функціонального аналізу, що дозволяють з оцінки великих відхилень емпіричної функції від первинної вивести оцінку великих відхилень точки мінімуму та мінімального значення емпіричної функції від відповідних характеристик первинної задачі. Зокрема, використовується поняття покращуючої функції, що характеризує поведінку мінімізовної функції в околі точки мінімуму. Використовується той факт, що функцію під знаком математичного сподівання при фіксованому другому аргументі можна вважати елементом простору неперервних функцій. Для спрощення задачі припускається, що дана функція належить опуклій компактній підмножині відповідного функціонального простору. Використовується теорія лінійних операторів, співвідношення двоїстості. Зокрема, використовується той факт, що спряженим до простору неперервних функцій є простір обмежених знакових мір. Використовуються відомі результати з теорії великих відхилень, зокрема, теорема про достатню ознаку оцінки верхньої границі великих відхилень. Використовуються поняття вимірно відокремлених випадкових величин та першої гіпотези гіперперемішування для однорідного поля. Доводиться допоміжне твердження про великі відхилення емпіричної оцінки в абстрактному просторі. При його доведенні прямокутник на площині розбивається на підмножини, відокремлені одна від одної. Потім з однорідності поля у вузькому розумінні та першої гіпотези гіперперемішування виводиться існування границі, що є достатньою умовою для оцінки великих відхилень.

Ключові слова: задача стохастичного програмування, однорідне у вузькому розумінні випадкове поле, умова сильного перемішування, великі відхилення.

  1. Ermoliev Yu.M., Knopov P.S. Method of empirical means in stochastic programming prob-lems. Cybernetics and Systems Analysis. 2006. 42(6). P. 773–785.
  2. Knopov P.S. Asymptotic properties of some classes of m-estimates. Cybernetics and Systems Analysis. 1997. 33(4). P. 468–481
  3. Knopov, P.S., Kasitskaya, E.I. Large deviations of empirical estimates in stochastic program-ming problems. Kibernetika i Sistemnyj Analiz. 2004. 40(4). P. 52–60.
  4. Knopov, P.S., Kasitskaya On large deviations of empirical estimates in a stochastic program-ming problem with time-dependent observations. Cybernetics and Systems Analysis. 2010. 46(5), P. 724–728
  5. Касицкая Е.И. Аппроксимация решения задачи стохастического программирования с помехой, являющейся однородным случайным полем. Мат. методы принятия решений в условиях неопределенности. Киев. 1990. С. 23–27.
  6. Kaniovski Yu.M., King A.J. Wets R.J-B. Probabilistic bounds (via large deviations) for the so-lutions of stochastic programming problems. Ann. Oper. Res., 1995, 56, P. 189-208.
  7. Deuschel J.–D., Stroock D.W. Large deviations. Boston.: Academic Press. 1989. 310 p.
  8. Dunford N., Schwartz J. Linear operators. P.I: General theory. New York: Interscience, 1957. 896 p.