АЛГОРИТМІЗАЦІЯ ОБЧИСЛЕНЬ КОНСТАНТ КОЛМОГОРОВА–НІКОЛЬСЬКОГО ВЕЛИЧИН НАБЛИЖЕННЯ СПРЯЖЕНИХ ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ФУНКЦІЙ УЗАГАЛЬНЕНИМИ ІНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА

Жигалло Константин Миколайович, кандидат фізико-математичних наук, доцент Східноєвропейського національного університету ім. Лесі  Українки, м. Луцьк

pages 33–42

DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v51.i10.50

У прикладній математиці при розв’язуванні низки задач доцільно використовувати методи і підходи теорії наближення функцій. Одним із найважливіших типів задач як теорії наближення функцій, так і прикладної математики є так звані екстремальні задачі Колмогорова–Нікольського. Суть задачі Колмогорова–Нікольського в прикладній математиці полягає в наближенні одних математичних об’єктів іншим, як правило, більш простої природи, властивості яких вже відомі, а необхідні характеристики обчислюються тим чи іншим способом. При цьому важливу роль відіграє оцінка похибки отриманого наближення, яка напряму залежить від точності розв’язку задачі Колмогорова–Нікольського. Ця точність, у свою чергу, буде залежати від кількості доданків у повних асимптотичних розкладах (за степенями 01),1( , у даній статті). Сталі, які стоять перед відповідними степенями 01),1( , у повних асимптотичних розкладах у прикладній математиці прийнято називати константами Колмогорова–Нікольського. Очевидно, що чим більше відомо цих констант, тим точніше можна отримати степінь похибки при наближенні одних математичних об’єктів іншими. Розроблений алгоритм обчислень констант Колмогорова–Нікольського будь-якого високого порядку малості при наближенні спряжених диференційовних функцій є їх узагальненими інтегралами Пуассона. Отриманий результат дозволить значно розширити межі застосування задач теорії наближення в прикладній математиці, а саме, при побудові чисельних алгоритмів, при розгляді задач оптимального керування, у математичному моделюванні складних технічних і екологічних систем та ін. 

Ключові слова: оцінка похибки, класи спряжених функцій, чисельні алгоритми, математичне моделювання, оптимальне управління, ігрові задачі динаміки, оператори, необхідна точність наближення.

1. Kal’chuk I.V., Kharkevych Yu.I. Complete asymptotics of the approximation of function from the Sobolev classes by the Poisson integrals. Acta Comment. Univ. Tartu. Math. 2018. 22, N 1. P. 23–36. DOI: 10.12697/ACUTM.2018.22.03
2. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. On the approximation of functions of the Hӧlder class by triharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2001. 53, N 6. P. 1012–1018. DOI: 10.1023/ А:1013364321249
3. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. On the approximation of functions of the Hölder class by biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2000. 52, N 7. P. 1113–1117. DOI: 10.1023/ A:1005285818550
4. Chikrii A.A. Multivalued mappings and their selections in game control problems. Journal of Automation and Information Sciences. 1995. 27, N 1. P. 27–38.
5. Chikrii A.A. An analytic method in dynamic pursuit games. Proc. Steklov Inst. Math. 2010. 271, N 1. Р. 69–85. DOI: 10.1134/s0081543810040073
6. Chikrii A.A. Game dynamic problems for systems with fractional derivatives. Pareto Optimality, Game Theory And Equilibria. Springer Optimization and Its Applications. New York: Springer, 2008. 17. P. 349–386. DOI: 10.1007/978-0-387-77247-9_13
7. Vlasenko L.A., Rutkas A.G., Chikrii A.A. On a differential game in a parabolic system. Proc. Steklov Inst. Math. 2016. 293 (Suppl 1). Р. 254–269. DOI: 10.1134/s0081543816050229
8. Dziubenko K.G., Chikrii A.A. An approach problem for a discrete system with random perturbations. Cybernet. Systems Anal. 2010. 46, N 2. P. 271–281. DOI: 10.1007/s10559-010- 9204-3
9. Kharkevych Yu.I. On approximation of the quasi-smooth functions by their Poisson type integrals. Journal of Automation and Information Sciences. 2017. 49, N 10. P. 74–81. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v49.i10.80
10. Zhyhallo T.V. Approximation of functions holding the Lipschitz conditions on a finite segment of the real axis by the Poisson–Chebyshev integrals. Journal of Automation and Information Sciences. 2018. 50, N 5. P. 34–48. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v50.i5.40
11. Степанец А.И. Классификация и приближение периодических функций. Киев: Наук. думка, 1987. 268 с.
12. Kharkevych Yu.I., Zhyhallo T.V. Approximation of ),( -differentiable functions defined on the real axis by Abel–Poisson operators. Ukrainian Math. J. 2005. 57, N 8. P. 1297–1315. DOI: 10.1007/s11253-005-0262-z
13. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of conjugate differentiable functions by their Abel–Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2009. 61, N 1. P. 86–98. DOI: 10.1007/s11253-009-0196-y
14. Hrabova U. Z., Kal’chuk I. V., Stepanyuk T. A. On the approximation of the classes  HWr by biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2018. 70, N 5. P. 719–729. DOI: 10.1007/s11253-018- 1528-6
15. Kharkevych Yu.I., Zhyhallo Т.V. Approximation of function from class  ,ˆ Ñ by Poisson biharmonic operators in the unifom metric. Ukrainian Math. J. 2008. 60, N 5. P. 769–798. DOI: 10.1007/s11253-008-0093-9 

16. Zhyhallo T.V., Kharkevych Yu.I. Approximating properties of biharmonic Poisson operators in the classec  1,ˆ  . Ukrainian Math. J. 2017. 69, N 5. P. 650–656. DOI: 10.1007/s11253-017-1393-8
17. Kharkevych Yu.I., Kal’chuk I.V. Approximation of ),(-differentiable functions by Weierstrass integrals. Ukrainian Math. J. 2007. 59, N 7. P. 1059–1087. DOI: 10.1007/s11253-007-0069-1
18. Grabova U.Z., Kal’chuk I.V., Stepaniuk T.A. Approximative properties of the Weierstrass integrals on the classes  HWr. J. Math. Sci. (N. Y.). 2018. 231, N 1. P. 41–47. DOI: 10.1007/s10958-018-3804-2
19. Zhyhallo T.V., Kharkevych Yu.I. Approximation of ),( -differentiable functions by Poissonintegrals in the uniform metric. Ukrainian Math. J. 2009. 61, N 11. P. 1757–1779. DOI: 10.1007/s11253-010-0311-0
20. Zhyhallo T.V., Kharkevych Yu.I. Approximation of functions from the class  ,Ñ by Poisson
integrals in the uniform metric. Ukrainian Math. J. 2009. 61, N 12. P. 1893–1914. DOI: 10.1007/s11253-010-0321-y
21. Kharkevych Yu.I., Zhyhallo T.V. Approximation of functions defined on the real axis by operators generated by  -methods of summation of their Fourier integrals. Ukrainian Math. J. 2004. 56, N 9. P. 1509–1525. DOI: 10.1007/s11253-005-0130-x
22. Kal’chuk I.V., Kharkevych Yu.I. Approximating properties of biharmonic Poisson integrals in the classes  HWr . Ukrainian Math. J. 2017. 68, N 11. P. 1727–1740. DOI: 10.1007/s11253-017-1323-9
23. Kharkevych Yu.I., Kal’chuk I.V. Asymptotics of the values of approximations in the mean for classes of differentiable functions by using biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2007. 59, N 8. P. 1224–1237. DOI: 10.1007/s11253-007-0082-4
24. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of functions from the classes ,Ñ by biharmonicPoisson integrals. Ukrainian Math. J. 2011. 63, N 7. P. 1083–1107. DOI: 10.1007/s11253-011-0565-1
25. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of ),(-differentiable functions of low smoothness by biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2012. 63, N 12. P. 1820–1844. DOI: 10.1007/s11253-012-0616-2
26. Grabova U.Z., Kal’chuk I.V., Stepaniuk T.A. Approximation of functions from the classes  HWr by Weierstrass integrals. Ukrainian Math. J. 2017. 69, N 4. P. 598–608. DOI: 10.1007/s11253-017-1383-x
27. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Complete asymptotics of the deviation of a class of differentiable functions from the set of their harmonic Poisson integrals,. Ukrainian Math. J. 2002. 54, N 1. Р. 51–63. DOI: 10.1023/A:1019789402502
28. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of conjugate differentiable functions by biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2009. 61, N 3. P. 399–413. DOI: 10.1007/s11253-009-0217-x
29. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976. 320 с.
30. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2-х т. М.: Мир, 1965. 1. 615 с.
31. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of differentiable periodic functions by their biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2002. 54, N 9. P.1462–1470. DOI: 10.1023/ A:1023463801914