СИЛЬНО ЗБІЖНИЙ МОДИФІКОВАНИЙ ЕКСТРАГРАДІЄНТНИЙ МЕТОД ДЛЯ ВАРІАЦІЙНИХ НЕРІВНОСТЕЙ З НЕЛІПШИЦЕВИМИ ОПЕРАТОРАМИ

Верлань Дмитро Анатолійович, аспірант Київського національного університету ім. Тараса Шевченка

Семенов Володимир Вікторович, доктор фізико-математичних наук, професор Київського національного університету ім. Тараса Шевченка

Чабак Любов Михайлівна, старший викладач Київської державної академії водного транспорту ім. гетьмана Петра Конашевича-Сагайдачного

pages 37-50

DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v47.i7.40

Запропоновано регуляризований модифікований екстраградієнтний метод з динамічним регулюванням величини кроку для розв’язання варіаційних нерівностей з монотонними операторами, що діють у гільбертовому просторі. Також розглянуто варіанти методу для варіаційних нерівностей та операторних рівнянь з апріорною інформацією про розв’язок, що задана у вигляді множини нерухомих точок квазінерозтягуючого оператора. Доведено теореми про сильну збіжність методів без припущення про ліпшицевість операторів.

  1. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. — М. : Мир, 1983. — 256 c.
  2. Nagurney A. Network economics: A variational inequality approach. — Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 1999. — 325 p.
  3. Семенов В.В., Семенова Н.В. О задаче векторного управления в гильбертовом пространстве // Кибернетика и системный анализ. — 2005. — № 2. — С. 117–130.
  4. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. — М. : Изд-во МГУ, 1989. — 200 c.
  5. Facchinei F., Pang J.-S. Finite-dimensional variational inequalities and complementarity problems. V. 2. — New York : Springer, 2003. — 704 p.
  6. Bauschke H.H., Combettes P.L. Convex analysis and monotone operator theory in Hilbert spaces. — Berlin; Heidelberg; New York : Springer, 2011. — 408 p.
  7. Konnov I.V. Combined relaxation methods for variational inequalities. — Berlin; Heidelberg; New York : Springer-Verlag, 2001. — 181 p.
  8. Xiu N., Zhang J. Some recent advances in projection-type methods for variational inequalities // J. Comput. Appl. Math. — 2003. — 152. — Р. 559–585.
  9. Nesterov Yu. Dual extrapolation and its applications to solving variational inequalities and related problems // Mathematical Programming. — 2007. — 109, N 2-3. — P. 319–344.
  10. Семенов В.В. О методе параллельной проксимальной декомпозиции для решения задач выпуклой оптимизации // «Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2010. — № 2. — С. 42–46.
  11. Семенов В.В. О сходимости методов решения двухуровневых вариационных неравенств с монотонными операторами // Журнал обчислювальної та прикладної математики. — 2010. — № 2 (101). — С. 120–128.
  12. Войтова Т.А., Семенов В.В. Метод решения двухэтапных операторных включений // Там же. — 2010. — № 3 (102). — С. 34–39.
  13. Маліцький Ю.В., Семенов В.В. Нові теореми сильної збіжності проксимального методу для задачі рівноважного програмування // Там же. — 2010. — № 3 (102). — С. 79–88.
  14. Денисов С.В., Семенов В.В. Проксимальний алгоритм для дворівневих варіаційних нерівностей: сильна збіжність // Там же. — 2011. — № 3 (106). — C. 27–32.
  15. Войтова Т.А., Семенов В.В., Денисов С.В. Альтернуючий проксимальний алгоритм для задачі дворівневої опуклої мінімізації // Доповіді НАН України. — 2012. — № 2. — С. 56–62.
  16. Семенов В.В. Параллельная декомпозиция вариационных неравенств с монотонными операторами // Журнал обчислювальної та прикладної математики. — 2012. — № 2 (108). — С. 53–58.
  17. Семенов В.В. Явный алгоритм расщепления для вариационных неравенств с монотонными операторами // Там же. — 2013. — № 2 (112). — С. 42–52.
  18. Semenov V.V. Strongly convergent algorithms for variational inequality problem over the set of solutions the equilibrium problems // In M.Z. Zgurovsky and V.A. Sadovnichiy (eds.), Continuous and Distributed Systems, Solid Mechanics and Its Applications. — Springer International Publishing Switzerland. — 2014. — 211. — P. 131–146.
  19. Корпелевич Г.М. Экстраградиентный метод для отыскания седловых точек и других задач // Экономика и математические методы. — 1976. — 12, № 4. — С. 747–756.
  20. Хоботов Е.Н. О модификации экстраградиентного метода для решения вариационных неравенств и некоторых задач оптимизации // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1987. — 27, № 10. — С. 1462–1473.
  21. Tseng P. A modified forward-backward splitting method for maximal monotone mappings // SIAM J. Control Optim. — 2000. — 38. — P. 431–446.
  22. Nadezhkina N., Takahashi W. Strong convergence theorem by a hybrid method for nonexpansive mappings and Lipschitz-continuous monotone mappings // Ibid. — 2006. — 16, N 4. — P. 1230–1241.
  23. Апостол Р.Я., Гриненко А.А., Семенов В.В. Ітераційні алгоритми для монотонних дворівневих варіаційних нерівностей // Журнал обчислювальної та прикладної математики. — 2012. — № 1 (107). — C. 3–14.
  24. Запорожец Д.Н., Зыкина А.В., Меленьчук Н.В. Сравнительный анализ экстраградиентных методов решения вариационных неравенств для некоторых задач // Автоматика и телемеханика. — 2012. — № 4. — С. 32–46.
  25. Малицкий Ю.В., Семенов В.В. Вариант экстраградиентного алгоритма для монотонных вариационных неравенств // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — № 2. — C. 125–131.
  26. Семенов В.В. Гибридные методы расщепления для системы операторных включений с монотонными операторами // Там же. — 2014. — № 5. — C. 104–112.
  27. Malitsky Yu.V., Semenov V.V. A hybrid method without extrapolation step for solving variational inequality problems // Journal of Global Optimization. — 2015. — 61, N 1. — P. 193–202. 
  28. Ляшко С.И., Семенов В.В., Войтова Т.А. Экономичная модификация метода Корпелевич для монотонных задач о равновесии // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 4. — C. 146–154.
  29. Censor Y., Gibali A., Reich S. The subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert space // Journal of Optimization Theory and Applications. — 2011. — 148. — P. 318–335.
  30. Censor Y., Gibali A., Reich S. Strong convergence of subgradient extragradient methods for the variational inequality problem in Hilbert space // Optimization Methods Software. — 2011. — 26. — P. 827–845.
  31. Nakajo K., Takahashi W. Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups // J. Math. Anal. Appl. — 2003. — 279. — P. 372–379.
  32. Halpern B. Fixed points of nonexpanding maps // Bull. Amer. Math. Soc. — 1967. — 73. — P. 957–961.
  33. Xu H. K. Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings // J. Math. Anal. Appl. — 2004. — 298. — P. 279–291.
  34. Васин В.В., Еремин И.И. Операторы и итерационные процессы фейеровского типа. — Москва-Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2005. — 200 c.
  35. Mainge P.-E. Strong convergence of projected subgradient methods for nonsmooth and nonstrictly convex minimization // Set-Valued Analysis. — 2008. — 16. — P. 899–912.
  36. Семенов В.В. Два методи апроксимації нерухомої точки фейєрівського оператора // Журнал обчислювальної та прикладної математики. — 2013. — № 1 (111). — С. 46–56.
  37. Семенов В.В. Сильно сходящийся метод расщепления для системы операторных включений с монотонными операторами // «Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2014. — № 3. — С. 22–32.