ТОЧНІ РІВНОСТІ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ КЛАСУ СОБОЛЄВА ЇХ УЗАГАЛЬНЕНИМИ ІНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА

УДК 519.6

Volume 66, Issue 2, 2021, pages 93-101

DOI: http://doi.org/10.34229/1028-0979-2021-2-8

Завантажити статтю

Харкевич Юрій Іліодоровічкандидат фізико-математичних наук, професор Волинського національного університету імені Лесі Українки, Луцьк


Абстракт

Розв’язання задач про рух системи взаємодіючих матеріальних точок у більшості випадків зводиться як до звичайних диференціальних рівнянь, так і до рівнянь в частинних похідних. Одним із розв’язків такого типу рівнянь є так звані узагальнені інтеграли Пуассона, які в окремих випадках перетворюються в добре відомі інтеграли Абеля–Пуассона або бігармонічні інтеграли Пуассона. Існує ряд результатів по наближенню різних класів диференційовних періодичних і неперіодичних функцій вищезазначеними інтегралами (так звана задача Колмогорова–Нікольського в термінології О.І. Степанця). Але практично в усіх розв’язаних задачах Колмогорова–Нікольського як для інтегралів Абеля–Пуассона, так і для бігармонічних інтегралів Пуассона з точки зору математичного моделювання (обчислювального експерименту) є істотний недолік. Суть цього недоліку полягає в тому, що в більшості розв’язаних раніше задач Колмогорова–Нікольського для інтегралів Абеля–Пуассона і бігармонічних інтегралів Пуассона (в кінцевому результаті) було отримано тільки головний і залишковий члени наближення, що істотно може впливати на точність обчислювального експерименту. Дану роботу присвячено отриманню точних рівностей наближення функцій класів Соболєва їх узагальненими інтегралами Пуассона. Отже, доведена в роботі теорема є узагальненням і уточненням раніше відомих результатів, які характеризують апроксимативні властивості інтегралів Абеля–Пуассона і бігармонічних інтегралів Пуассона на класах диференційовних періодичних функцій. Особливістю розв’язаної в роботі задачі наближення для узагальненого інтеграла Пуассона на класах диференційовних функцій є те, що отриманий результат вдалося записати за допомогою відомих констант Ахієзера–Крейна–Фавара. Зазначений факт значно підвищує точність результату математичного моделювання (обчислювального експерименту) будь-якого реального процесу, що описується за допомогою узагальненого інтеграла Пуассона. Ці результати в подальшому зможуть значно розширити рамки застосування задач Колмогорова–Нікольського до математичного моделювання.


REFERENCES

  1. Chikrii A.A., Chikrii V.K. Image structure of multivalued mappings in game problems of motion control. Journal of Automation and Information Sciences 2016. 48, N 3. P. 20–35. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v48.i3.30.
  2. Vlasenko L.A., Rutkas A.G., Chikrii A.A. On a differential game in an abstract parabolic system. Proc. Steklov Inst. Math. 2016. 293 (Suppl 1). P. 254–269. DOI: 10.1134/s0081543816050229.
  3. Chikrii A.A., Chikrii G.T. Matrix resolving functions in game problems of dynamics. Proc. Steklov Inst. Math. 2015. 291 (Suppl 1). Р. 56–65. DOI: 10.1134/S0081543815090047.
  4. Chikrii A.О., Chikrii G.T. Matrix resolving functions in dynamic games of approach. Cybernet. and Systems Anal. 2014. 50, N 2. Р. 201–217. DOI: 10.1007/s10559-014-9607-7.
  5. Chikrii A.A., Eidelman S.D. Control game problems for quasilinear systems with Riemann-Liouville fractional derivatives. Cybernet. and Systems Anal. 2001. 37, N 6. P. 836–864. DOI: 10.1023/A:1014529914874.
  6. Chikrii A.A., Matichin I.I. Game problems for fractional-order linear systems. Proc. Steklov Inst. Math2010. 268 (Suppl 1). P. 54–70. DOI: 10.1134/s0081543810050056.
  7. Chikrii A.A., Matichin I.I. Riemann-Liouville, Caputo, and sequential fractional derivatives in differential games. In Breton M., Szajowski K. (eds) Advances in Dynamic Games. Annals of the International Society of Dynamic Games, Birkhäuser Boston 2011. 11. P. 61–81. DOI: 10.1007/978-0-8176-8089-3_4.
  8. Kharkevych Yu.I. Asymptotic expansions of upper bounds of deviations of functions of class from their generalized Poisson integrals. Journal of Automation and Information Sciences. 2018. 50, N 8. P. 38–49. DOI: 10.1615/jautomatinfscien.v50.i8.40.
  9. Kharkevych Yu.I., Zhyhallo T.V. Approximation of -differentiable functions defined on the real axis by Abel-Poisson operators. Ukrainian Math. J. 2005. 57, N 8. P. 1297–1315. DOI: 10.1007/s11253-005-0262-z.
  10. Kal’chuk I.V., Kharkevych Yu.I., Pozharska K.V. Asymptotics of approximation of functions by conjugate Poisson integrals. Carpathian Math. Publ. 2020. 12, N 1. P. 138–147. DOI: 10.15330/cmp.12.1.138–147.
  11. Kharkevych Yu.I., Stepanyuk T.A. Approximation properties of Poisson integrals for the classes . Mathematical Notes. 2014. 9, N 5–6. P. 1008–1019. DOI: 10.1134/S0001434614110406.
  12. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of functions from the classes by biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2011. 63, N 7. P. 1083–1107. DOI: 10.1007/s11253-011-0565-1.
  13. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of -differentiable functions of low smoothness by biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2012. 63, N 12. P. 1820–1844. DOI: 10.1007/s11253-012-0616-2.
  14. Kharkevych Yu.I., Kal’chuk I.V. Asymptotics of the values of approximations in the mean for classes of differentiable functions by using biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2007. 59, N 8. P. 1224–1237. DOI: 10.1007/s11253-007-0082-4.
  15. Zhyhallo T.V., Kharkevych Yu.I. Approximating properties of biharmonic Poisson operators in the classes . Ukrainian Math. J. 2017. 69, N 5. P. 757–765. DOI: 10.1007/s11253-017-1393-8.
  16. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of conjugate differentiable functions by their Abel–Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2009. 61, N 1. P. 86–98. DOI: 10.1007/s11253-009-0196-y.
  17. Kharkevych Yu.I., Pozharska K.V. Asymptotics of approximation of conjugate functions by Poisson integrals. Acta Comment. Univ. Tartu. Math. 2018. 22, N 2. P. 235–243. DOI: 10.12697/ACUTM.2018.22.19.
  18. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of conjugate differentiable functions by biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2009. 61, N 3. P. 399–413. DOI: 10.1007/s11253-009-0217-x.
  19. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. On the approximation of functions of the Hölder class by biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2000. 52, N 7. P. 1113–1117. DOI: 10.1023/­A:1005285818550.
  20. Степанец А.И. Методы теории приближения. Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. Ч. I. 427 с.
  21. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. On the approximation of functions of the Hölder class by triharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2001. 53, N 6. P. 1012–1018. DOI: 10.1023/A:1013364321249.
  22. Kharkevych Yu.I., Kal’chuk I.V. Approximation of -differentiable functions by Weierstrass integrals. Ukrainian Math. J. 2007. 59, N 7. P. 1059–1087. DOI: 10.1007/s11253-007-0069-1.
  23. Kal’chuk I.V., Kravets V.I., Hrabova U.Z. Approximation of the classes by three-harmonic Poisson integrals. J. Math. Sci. (N. Y.). 2020. 246, N 2. P. 39–50. DOI: 10.1007/s10958-020-04721-4.
  24. Hrabova U. Z., Kal’chuk I.V. Approximation of the classes by three-harmonic Poisson integrals. Carpathian Math. Publ. 2019. 11, N 2. P. 10–23. DOI: 10.15330/cmp.11.2.321–334.
  25. Kal’chuk I.V., Kharkevych Yu.I. Complete asymptotics of the approximation of function from the Sobolev classes by the Poisson integrals. Acta Comment. Univ. Tartu. Math. 2018. 22, N 1.
    P. 23–36. DOI: 10.12697/ACUTM.2018.22.03.
  26. Zhyhallo T.V., Kharkevych Yu.I. Approximation of -differentiable functions by Poisson integrals in the uniform metric. Ukrainian Math. J. 2009. 61, N 11. P. 1757–1779. DOI: 10.1007/s11253-010-0311-0.
  27. Zhyhallo T.V., Kharkevych Yu.I. Approximation of functions from the class by Poisson integrals in the uniform metric. Ukrainian Math. J. 2009. 61, N 12. P. 1893–1914. DOI: 10.1007/s11253-010-0321-y.
  28. Kharkevych Yu.I., Zhyhallo T.V. Approximation of functions defined on the real axis by operators generated by -methods of summation of their Fourier integrals. Ukrainian Math. J. 2004. 56, N 9. P. 1509–1525. DOI: 10.1007/s11253-005-0130-x.
  29. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Complete asymptotics of the deviation of a class of differentiable functions from the set of their harmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2002. 54, N 1. Р. 51–63. DOI: 10.1023/A:1019789402502.
  30. Hrabova U.Z., Kal’chuk I.V., Stepanyuk T.A. On the approximation of the classes by biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2018. 70, N 5. P. 719–729. DOI: 10.1007/s11253-018-1528-6.
  31. Zhyhallo K.M., Kharkevych Yu.I. Approximation of differentiable periodic functions by their biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2002. 54, N 9. P. 1462–1470. DOI: 10.1023/A:1023463801914.
  32. Kharkevych Yu.I., Zhyhallo T.V. Approximation of functions from the class by Poisson biharmonic operators in the uniform metric. Ukrainian Math. J. 2008. 60, N 5. P. 769–798. DOI: 10.1007/s11253-008-0093-9.
  33. Kal’chuk I.V., Kharkevych Yu.I. Approximating properties of biharmonic Poisson integrals in the classes . Ukrainian Math. J. 2017. 68, N 11. P. 1727–1740. DOI: 10.1007/s11253-017-1323-9.
  34. Abdullayev F.G., Kharkevych Yu.I. Approximation of the classes by biharmonic Poisson integrals. Ukrainian Math. J. 2020. 72, N 1. P. 21–38. DOI: 10.1007/s11253-020-01761-6.
  35.  Kharkevych Yu.I. On approximation of the quasi-smooth functions by their Poisson type integrals. Journal of Automation and Information Sciences. 2017. 49, N 10. P. 74–81. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v49.i10.80.